REALIMENTACIÓN NEGATIVA DE PRIMER ORDEN, REALIMENTACION POSITIVA
TALLER PARA REPRESENTAR FENOMENOS DE REALIMENTACIÓN NEGATIVA DE PRIMER ORDEN, REALIMENTACION POSITIVA
1) Un sistema que representa este tipo de comportamiento es el mecanismo de llenado de un tanque de agua de un baño tradicional.
Supongamos que el Tanque tiene una capacidad de 20 litros y que en términos normales se demora 60 segundos en llenarse (1 minuto). Es de recordar que la válvula regula la entrada de agua, a medida que haya mas agua en el tanque la entrada de agua es menor. Podemos hacer un programa de computador o usar la hoja electrónica para observar el comportamiento de este sistema. Así :
|
Tiempo (segundos) |
Cantidad de agua entrante |
AGUA EN EL TANQUE |
Cantidad de agua faltante para llenar el tanque (litros) |
ENTRADA DE AGUA (litros/segundo) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,00 |
0 |
20 |
0,33 |
|
2 |
0,64 |
0,64 |
19,36 |
0,32 |
|
4 |
0,64 |
1,28 |
18,08 |
0,31 |
|
6 |
0,62 |
1,93 |
18,07 |
0,30 |
|
8 |
0,60 |
2,54 |
17,46 |
0,29 |
El tiempo en que se simula el sistema es cada 2 segundos.
En el inicio del llenado del tanque el tiempo es 0 segundos.
La cantidad del agua en el tanque al tiempo cero es igual a 0.
La cantidad de agua faltante para llenar el tanque es igual a 20 menos el agua en el tanque.
La cantidad de agua que entra por segundo es igual a la cantidad de agua que falta para llenar el tanque dividido por 60 segundos que es el tiempo que se tardaría normalmente en llenarse el tanque.
Si representamos gráficamente el comportamiento del sistema con respecto al tiempo del agua en el tanque y el agua faltante, se puede ver el tipo de curva que se produce, que es un crecimiento hasta alcanzar un valor establecido y luego permanece en dicho valor.
- Simule en una hoja electrónica este problema y responda :
- Si el tiempo de simulación es cada segundo cuantos segundos se requerirá para llenar el tanque
- Si el tanque es de 25 litros cuanto tiempo se requerirá para llenar el tanque
- Si el tiempo de llenado del tanque es de 80 segundos sin restricciones, simule el sistema teniendo en cuenta que la válvula frena la entrada de cantidad de agua y calcule cuantos segundos se demoraría en llenarse el tanque.
Sugerencia : Use las siguientes formulas :
CAPACIDAD DEL TANQUE (CT) = 20
TIEMPO DE LLENARSE UN TANQUE (TLT) = 60
Cantidad de agua entrante (CAE)
Agua en el Tanque (Nivel)
Cantidad de agua faltante para llenar el tanque (CAF)
Entrada de Agua (EA)
CAE (i) = EA(i – 1) X 2 donde CAE (0) = 0
Nível (i) = Nível (i -1) + CAE (i)
CAF(i) = CT – Nivel (i)
EA (i) = CAF(i) / (TLT)
- Elaboré un diagrama causal
- Elabore un diagrama en dinámica de sistemas y simule en el programa vensim compare sus respuestas con las respuestas en Excel.
SOLUCIÓN
I)
|
Tiempo (segundos) |
Cantidad de agua entrante |
AGUA EN EL TANQUE |
Cantidad de agua faltante para llenar el tanque (litros) |
ENTRADA DE AGUA (litros/segundo) |
|
0 |
0 |
0 |
20 |
0,333333333 |
|
2 |
0,66666667 |
0,66666667 |
19,33333333 |
0,322222222 |
|
4 |
0,64444444 |
1,31111111 |
18,68888889 |
0,311481481 |
|
6 |
0,62296296 |
1,93407407 |
18,06592593 |
0,301098765 |
|
8 |
0,60219753 |
2,5362716 |
17,4637284 |
0,29106214 |
|
10 |
0,58212428 |
3,11839588 |
16,88160412 |
0,281360069 |
|
12 |
0,56272014 |
3,68111602 |
16,31888398 |
0,2719814 |
|
14 |
0,5439628 |
4,22507882 |
15,77492118 |
0,262915353 |
|
16 |
0,52583071 |
4,75090953 |
15,24909047 |
0,254151508 |
|
18 |
0,50830302 |
5,25921254 |
14,74078746 |
0,245679791 |
|
20 |
0,49135958 |
5,75057212 |
14,24942788 |
0,237490465 |
|
22 |
0,47498093 |
6,22555305 |
13,77444695 |
0,229574116 |
|
24 |
0,45914823 |
6,68470129 |
13,31529871 |
0,221921645 |
|
26 |
0,44384329 |
7,12854458 |
12,87145542 |
0,214524257 |
|
28 |
0,42904851 |
7,55759309 |
12,44240691 |
0,207373448 |
|
30 |
0,4147469 |
7,97233999 |
12,02766001 |
0,200461 |
. . . . .
. . . . .
. . . . .
|
268 |
8,9473E-05 |
19,9974053 |
0,002594718 |
4,32453E-05 |
|
270 |
8,6491E-05 |
19,9974918 |
0,002508228 |
4,18038E-05 |
|
272 |
8,3608E-05 |
19,9975754 |
0,00242462 |
4,04103E-05 |
|
274 |
8,0821E-05 |
19,9976562 |
0,002343799 |
3,90633E-05 |
|
276 |
7,8127E-05 |
19,9977343 |
0,002265673 |
3,77612E-05 |
|
278 |
7,5522E-05 |
19,9978098 |
0,00219015 |
3,65025E-05 |
|
280 |
7,3005E-05 |
19,9978829 |
0,002117145 |
3,52858E-05 |
|
282 |
7,0572E-05 |
19,9979534 |
0,002046574 |
3,41096E-05 |
|
284 |
6,8219E-05 |
19,9980216 |
0,001978355 |
3,29726E-05 |
|
286 |
6,5945E-05 |
19,9980876 |
0,001912409 |
3,18735E-05 |
|
288 |
6,3747E-05 |
19,9981513 |
0,001848662 |
3,0811E-05 |
|
290 |
6,1622E-05 |
19,998213 |
0,00178704 |
2,9784E-05 |
|
292 |
5,9568E-05 |
19,9982725 |
0,001727472 |
2,87912E-05 |
|
294 |
5,7582E-05 |
19,9983301 |
0,00166989 |
2,78315E-05 |
a) Si el tiempo de simulación es cada segundo se requerirá la misma cantidad de tiempo para que se llene el tanque, ya que solo varía el tiempo en que se capturan los datos en la simulacion, cuyos datos van a ser los mismos.
b) Se requerirá la misma cantidad de tiempo, ya que la fórmula siempre se encuentra dividida por cierta fracción de tiempo (60 segundos).
c) En la simulación con una fracción de tiempo de (80 segundos) se encontró que el AGUA DE ENTRADA disminuye, de 0,33 pasa a uno de 0,25, lo que indica que se demora mas el tanque en llenarse, demorándose aproximadamente 80 segundos.
II) Diagrama Causal
III) Diagrama en dinámica de sistemas
2) Un sistema que nos permite representar este tipo de comportamiento es los prestamos que realiza una persona para sobrevivir
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
TIEMPO Cdp Deuda Interés |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Las formulas serian:
Cantidad de dinero prestado (Cdp) Valor inicial = 10000000
Total deuda (Td)
Intereses (I)
Td (i) = Td(i-1) + Cdp(i) : Td(0) = 1000000
I (i) = Tdp (i) / 10
Cdp(i) = I(i)*2
- Simule en una hoja electrónica este problema y responda :
- En cuanto tiempo la persona tendrá que pagar el doble de su préstamo inicial
- Si la tasa de interés es del 15 % , verifique en cuanto tiempo estará pagando el doble de su préstamo inicial
- Elabore un diagrama causal
- Elabore un diagrama en dinámica de sistemas y simule en el programa vensim compare sus respuestas con las respuestas en Excel
SOLUCIÓN
I)
|
C |
Cdp |
Deuda |
interés |
|
0 |
10000000 |
10000000 |
1000000 |
|
2 |
2000000 |
12000000 |
1200000 |
|
4 |
2400000 |
14400000 |
1440000 |
|
6 |
2880000 |
17280000 |
1728000 |
|
8 |
3456000 |
20736000 |
2073600 |
|
10 |
4147200 |
24883200 |
2488320 |
|
12 |
4976640 |
29859840 |
2985984 |
|
14 |
5971968 |
35831808 |
3583180,8 |
|
16 |
7166361,6 |
42998169,6 |
4299816,96 |
|
18 |
8599633,92 |
51597803,52 |
5159780,352 |
|
20 |
10319560,7 |
61917364,22 |
6191736,422 |
|
22 |
12383472,84 |
74300837,07 |
7430083,707 |
|
24 |
14860167,41 |
89161004,48 |
8916100,448 |
|
26 |
17832200,9 |
106993205,4 |
10699320,54 |
|
28 |
21398641,08 |
128391846,5 |
12839184,65 |
|
30 |
25678369,29 |
154070215,7 |
15407021,57 |
|
32 |
30814043,15 |
184884258,9 |
18488425,89 |
|
34 |
36976851,78 |
221861110,7 |
22186111,07 |
|
36 |
44372222,13 |
266233332,8 |
26623333,28 |
a) La persona tendrá que pagar el doble que prestó en un tiempo de 8 meses (tomando el tiempo en meses) después de realizar su primer préstamo, estaría pagando $20.736.000 que sería un poco más del doble.
b) Si la tasa de interés ahora es del 15% entonces el tiempo que se tardará en pagar sería también de 8 meses con una deuda de $ 22.464.000.
II) Diagrama causal
III) Diagrama de Dinámica de Sistemas
Realizando esta simulación se obtuvieron los siguientes resultados:
Se asemejan a los resultados arrojados en la hoja de cálculo de Excel.
3) Un sistema que nos sirve para explicar este comportamiento es el vuelo de un avión
Que está representado en la figura. El avión sube hasta alcanzar una altura determinada (altura de vuelo de crucero ej: 30.000 pies ) y luego intenta ir a esa altura. Debido a la demora de los mecanismos del avión (principalmente motores) en responder las ordenes del piloto, el vuelo del avión es diferente a lo mostrado en el gráfico anterior:
|
TIEMPO (minutos) |
Total del Cambio en Altura (pies) |
Altura (pies) |
Corrección en la capacidad de tomar altura del avión (pies) |
CAPACIDAD DE TOMAR ALTURA POR EL AVION (pies) |
Altura faltante para llegar a vuelo de crucero (pies) |
Altura solicitada por el piloto al accionar motores (pies) |
Cambio de altura del avión ) (pies) |
|
|
(altura alcanzada por el avión entre los periodos de tiempo |
|
la diferencia entre la altura solicitada por el piloto del avión menos el cambio de altura del avión |
|
|
(basado en lo que le falta para la altura sobre tiempo necesario para la altura de crucero |
( basado en la capacidad de tomar altura del avión dividido entre porcentaje Ej.: la décima parte) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
15000 |
30000 |
1500 |
1500 |
|
2 |
3000 |
3000 |
0 |
15000 |
27000 |
1350 |
1500 |
|
4 |
3000 |
6000 |
-300 |
14700 |
24000 |
1200 |
1470 |
|
6 |
2940 |
8940 |
-540 |
14160 |
21060 |
1053 |
1416 |
En la tabla mostrada se pueden observar que:
El tiempo de simulación es cada 2 minutos.
El tiempo de alcanzar altura de crucero lo estimamos en 20 minutos (sin tener en cuenta la demora).
Las formulas aquí serian:
Cambio en altura (Ca)
Altura (H)
Corrección en la capacidad de tomar altura del avión (Ch)
Capacidad de tomar altura por el avión (Cta)
Altura faltante para llegar a vuelo de crucero (Hf)
Altura solicitada por el piloto al accionar motores (Ap)
Cambio de altura del avión (Cha)
TIEMPO PARA ALCANZAR CRUCERO = 20
Ca (i) = Cha (i -1) * 2 Debido a que se simula cada dos (2) minutos
H (i) = H(i-1) + Ca(i)
Ch(i) = Ap(i-1) – Cha (i-1)
Cta (i) = Cta(i-1) + Ch(i)
Hf(i) = 30.000 – H(i)
Ap(i) =Hf(i)/TC
Cha(i) = Cta(i)/10
- Simule en una hoja electrónica este problema y responda :
- Si el tiempo de simulación es cada minuto cuantos minutos se requerirá para que el avión alcanzara vuelo de crucero.
- Si la altura de vuelo se cambia a 20.000 pies cuanto tiempo se requerirá para alcanzarla.
- Elabore un diagrama causal.
- Elabore un diagrama en dinámica de sistemas y simule en el programa vensim compare sus respuestas con las respuestas en Excel.
SOLUCIÓN
I) HOJA DE EXCEL
|
TIEMPO |
Total del Cambio en Altura |
Altura |
Corrección en la capacidad de tomar altura del avión |
CAPACIDAD DE TOMAR ALTURA POR EL AVION |
Altura faltante para llegar a vuelo de crucero |
Altura solicitada por el piloto al accionar motores |
Cambio de altura del avión ) |
|
(minutos) |
(pies) |
(pies) |
(pies) |
(pies) |
(pies) |
(pies) |
(pies) |
|
|
(altura alcanzada por el avión entre los periodos de tiempo |
|
la diferencia entre la altura solicitada por el piloto del avión menos el cambio de altura del avión |
|
|
(basado en lo que le falta para la altura sobre tiempo necesario para la altura de crucero |
( basado en la capacidad de tomar altura del avión dividido entre porcentaje Ej.: la décima parte) |
|
0 |
|
0 |
|
15000 |
30000 |
1500 |
1500 |
|
2 |
3000 |
3000 |
0 |
15000 |
27000 |
1350 |
1500 |
|
4 |
3000 |
6000 |
-300 |
14700 |
24000 |
1200 |
1470 |
|
6 |
2940 |
8940 |
-540 |
14160 |
21060 |
1053 |
1416 |
|
8 |
2832 |
11772 |
-726 |
13434 |
18228 |
911,4 |
1343,4 |
|
10 |
2686,8 |
14458,8 |
-864 |
12570 |
15541,2 |
777,06 |
1257 |
|
12 |
2514 |
16972,8 |
-959,88 |
11610,12 |
13027,2 |
651,36 |
1161,012 |
|
14 |
2322,024 |
19294,824 |
-1019,304 |
10590,816 |
10705,176 |
535,2588 |
1059,0816 |
|
16 |
2118,1632 |
21412,9872 |
-1047,6456 |
9543,1704 |
8587,0128 |
429,35064 |
954,31704 |
|
18 |
1908,63408 |
23321,6213 |
-1049,9328 |
8493,2376 |
6678,37872 |
333,918936 |
849,32376 |
|
20 |
1698,64752 |
25020,2688 |
-1030,80965 |
7462,42795 |
4979,7312 |
248,98656 |
746,242795 |
|
22 |
1492,48559 |
26512,7544 |
-994,51247 |
6467,91548 |
3487,24561 |
174,36228 |
646,791548 |
|
24 |
1293,5831 |
27806,3375 |
-944,858535 |
5523,05695 |
2193,66251 |
109,683126 |
552,305695 |
|
26 |
1104,61139 |
28910,9489 |
-885,245138 |
4637,81181 |
1089,05112 |
54,4525562 |
463,781181 |
|
28 |
927,562362 |
29838,5112 |
-818,657249 |
3819,15456 |
161,488762 |
8,07443812 |
381,915456 |
|
30 |
763,830912 |
30602,3421 |
-747,682036 |
3071,47252 |
-602,342149 |
-30,1171075 |
307,147252 |
|
32 |
614,294505 |
31216,6367 |
-674,52872 |
2396,9438 |
-1216,63665 |
-60,8318327 |
239,69438 |
|
34 |
479,388761 |
31696,0254 |
-601,052426 |
1795,89138 |
-1696,02541 |
-84,8012707 |
179,589138 |
. . . . .
. . . . .
|
210 |
-0,0376811 |
29999,4768 |
0,08622873 |
-0,10217677 |
0,52315735 |
0,02615787 |
-0,01021768 |
|
212 |
-0,02043535 |
29999,4564 |
0,07275109 |
-0,02942568 |
0,54359271 |
0,02717964 |
-0,00294257 |
a) Si el tiempo de simulación es cada minuto se requerirá la misma cantidad de tiempo (30 minutos) para que el avion alcance la altura crucero, ya que solo varía el tiempo en que se capturan los datos en la simulacion (minuto a minuto), cuyos datos van a ser los mismos.
b) Si se cambia el valor de la altura crucero que debe alcanzar el avión, este alcanzaría dicha altura en un tiempo de 14 minutos.
II) Diagrama causal
III) Diagrama Dinámica de Sistemas
